La solution est à chercher du côté de nos jeux d'enfants et notamment des petites comptines qui nous servaient à désigner le loup. Pour cela, les enfants qui voulaient jouer formaient une ronde et on entonnait une comptine en désignant à chaque syllabe l'enfant suivant.
Prenons un exemple.
enfants (que nous appellerons très poétiquement A, B, C, D, E, F, G et H) utilisent la comptine de 5 syllabes suivante : "Tu n'es pas le loup.". Si on commence la comptine sur A, elle s'arrête sur E qui est bien content de ne pas être le loup. Ensuite, ce sera au tour de B d'être exempté, puis ce sera H, etc. Finalement, les enfants auront été désignés dans cet ordre-ci : E B H G A D F C.
On se rend alors compte que le nombre 5 permet de décrire un et un seul mélange possible de 8 éléments. On se pose alors tout se suite la questions suivante : peut-on décrire tous les mélanges possibles avec ce système. Pour 8 éléments, on sait qu'on a 8! = 40320 mélanges possibles. Il serait intéressant de tester les nombres de 1 à 40320 pour voir s'ils donnent tous des mélanges différents. Mais on va commencer par restreindre le nombre d'éléments à 5 pour n'avoir que 120 combinaisons à examiner.
1-BCDEA 2-CEBAD 3-DBACE 4-EDACB 5-ABDEC 6-BDCAE 7-CABDE 8-DCAEB 9-EADBC 10-ACDBE
11-BECDA 12-CBAED 13-DEABC 14-EBDCA 15-ADCEB 16-BACED 17-CDABE 18-DAECB 19-ECDAB 20-AECBD
21-BCADE 22-CEADB 23-DBEAC 24-EDCBA 25-ABCDE 26-BDAEC 27-CAEBD 28-DCEBA 29-EACDB 30-ACBED
31-BEACD 32-CBEDA 33-DECAB 34-EBCAD 35-ADBCE 36-BAEDC 37-CDEAB 38-DACBE 39-ECBDA 40-AEBDC
41-BCEAD 42-CEDBA 43-DBCEA 44-EDBAC 45-ABECD 46-BDECA 47-CADEB 48-DCBAE 49-EABCD 50-ACEDB
51-BEDAC 52-CBDAE 53-DEBCA 54-EBADC 55-ADEBC 56-BADCE 57-CDBEA 58-DABEC 59-ECABD 60-AEDCB
61-BCDEA 62-CEBAD 63-DBACE 64-EDACB 65-ABDEC 66-BDCAE 67-CABDE 68-DCAEB 69-EADBC 70-ACDBE
71-BECDA 72-CBAED 73-DEABC 74-EBDCA 75-ADCEB 76-BACED 77-CDABE 78-DAECB 79-ECDAB 80-AECBD
81-BCADE 82-CEADB 83-DBEAC 84-EDCBA 85-ABCDE 86-BDAEC 87-CAEBD 88-DCEBA 89-EACDB 90-ACBED
91-BEACD 92-CBEDA 93-DECAB 94-EBCAD 95-ADBCE 96-BAEDC 97-CDEAB 98-DACBE 99-ECBDA 100-AEBDC
101-BCEAD 102-CEDBA 103-DBCEA 104-EDBAC 105-ABECD 106-BDECA 107-CADEB 108-DCBAE 109-EABCD 110-ACEDB
111-BEDAC 112-CBDAE 113-DEBCA 114-EBADC 115-ADEBC 116-BADCE 117-CDBEA 118-DABEC 119-ECABD 120-AEDCB
Voilà qui porte un bon coup à notre espoir de décrire tous les mélanges avec un seul nombre. En effet, on a marqué en rouge les mélanges qui sont des doublons. Et on remarque que (en notant f la fonction qui à un nombre associe un mélange) pour tout nombre n allant de 1 à 60, on a toujours f(n + 60) = f(n).
Si cette égalité vaut pour n'importe quelle valeur de n, alors notre espoir est carrément mort. Regardons, à tout hasard, ce qu'il se passe avec seulement 4 éléments. Il n'y a que 24 combinaisons à tester.
1-BCDA 2-CADB 3-DCAB 4-ABDC 5-BDAC 6-CBAD
7-DABC 8-ACBD 9-BACD 10-CDBA 11-DBCA 12-ADCB
13-BCDA 14-CADB 15-DCAB 16-ABDC 17-BDAC 18-CBAD
19-DABC 20-ACBD 21-BACD 22-CDBA 23-DBCA 24-ADCB
On constate exactement le même phénomène : on atteint la moitié seulement des mélanges possibles.