Cette fois on est certain qu'on ne pourra jamais décrire toutes les permutations à l'aide d'un seul nombre. Mais si on garde l'idée de la comptine, rien en nous oblige à commencer à compter toujours sur le premier enfant du cercle. ON pourrait peut-être utiliser un second nombre pour indiquer par qui on commence.
Pour des questions de concision, nous allons utiliser la notation suivante : P(a, b). Cela correspond à une permutation en utilisant une comptine de a syllabes et en commençant par l'enfant b.
Alors, si on revient à la page 2, on sait que P(3, 1) = DCAB et comme le PPCM de (4, 3, 2) vaut 12, on a aussi P(3, 1) = P(3 + 12*k, 1) pour tout k entier.
Mais le plus intéressant, c'est que P(3, 2) = ADBC et c'est une permutation qu'on ne peut pas faire avec P(k, 1) quelque soit k. De plus, P(3, 2) peut se déduire de P(3, 1) en décalant tout simplement chaque lettre d'un cran (D devient A, C devient D, etc.).
Bref, avec ce système, on peut décrire entièrement toutes les permutations de 4 éléments :
P(1,1)=BCDA P(2,1)=CADB P(3,1)=DCAB P(4,1)=ABDC P(5,1)=BDAC P(6,1)=CBAD
P(7,1)=DABC P(8,1)=ACBD P(9,1)=BACD P(10,1)=CDBA P(11,1)=DBCA P(12,1)=ADCB
P(1,2)=CDAB P(2,2)=DBAC P(3,2)=ADBC P(4,2)=BCAD P(5,2)=CABD P(6,2)=DCBA
P(7,2)=ABCD P(8,2)=BDCA P(9,2)=CBDA P(10,2)=DACB P(11,2)=ACDB P(12,2)=BADC
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Compresser une permutation
15 mai 2013
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