Tétraèdre Magique

Grâce à cet algorithme, nous pouvons remplir le tableau suivant qui indique les nombres en commun entre les différentes faces possibles avec une somme de 30.

Si deux faces sont sur le même tétraèdre, elles partagent forcément exactement 3 nombres. On indique donc en vert les paires de faces compatibles.

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N
A		1, 2, 3, 10	1, 2, 3, 9	1, 2, 5, 10	1, 2, 10	1, 2, 9	1, 2, 5, 9	1, 3, 5, 10	1, 3, 5, 9	1, 3, 9	1, 3, 5	2, 3, 5, 10	2, 3, 5, 9	2, 3
B	1, 2, 3, 10		1, 2, 3, 8	1, 2, 8, 10	1, 2, 6, 10	1, 2, 6, 8	1, 2, 6	1, 3, 10	1, 3, 8	1, 3, 6	1, 3, 6, 8	2, 3, 6, 10	2, 3	2, 3, 6, 8
C	1, 2, 3, 9	1, 2, 3, 8		1, 2, 8	1, 2, 7	1, 2, 8, 9	1, 2, 7, 9	1, 3, 7	1, 3, 8, 9	1, 3, 7, 9	1, 3, 7, 8	2, 3	2, 3, 7, 9	2, 3, 7, 8
D	1, 2, 5, 10	1, 2, 8, 10	1, 2, 8		1, 2, 4, 10	1, 2, 4, 8	1, 2, 5	1, 4, 5, 10	1, 4, 5, 8	1, 4	1, 5, 8	2, 4, 5, 10	2, 4, 5	2, 4, 8
E	1, 2, 10	1, 2, 6, 10	1, 2, 7	1, 2, 4, 10		1, 2, 4, 6	1, 2, 6, 7	1, 4, 7, 10	1, 4	1, 4, 6, 7	1, 6, 7	2, 4, 6, 10	2, 4, 7	2, 4, 6, 7
F	1, 2, 9	1, 2, 6, 8	1, 2, 8, 9	1, 2, 4, 8	1, 2, 4, 6		1, 2, 6, 9	1, 4	1, 4, 8, 9	1, 4, 6, 9	1, 6, 8	2, 4, 6	2, 4, 9	2, 4, 6, 8
G	1, 2, 5, 9	1, 2, 6	1, 2, 7, 9	1, 2, 5	1, 2, 6, 7	1, 2, 6, 9		1, 5, 7	1, 5, 9	1, 6, 7, 9	1, 5, 6, 7	2, 5, 6	2, 5, 7, 9	2, 6, 7
H	1, 3, 5, 10	1, 3, 10	1, 3, 7	1, 4, 5, 10	1, 4, 7, 10	1, 4	1, 5, 7		1, 3, 4, 5	1, 3, 4, 7	1, 3, 5, 7	3, 4, 5, 10	3, 4, 5, 7	3, 4, 7
I	1, 3, 5, 9	1, 3, 8	1, 3, 8, 9	1, 4, 5, 8	1, 4	1, 4, 8, 9	1, 5, 9	1, 3, 4, 5		1, 3, 4, 9	1, 3, 5, 8	3, 4, 5	3, 4, 5, 9	3, 4, 8
J	1, 3, 9	1, 3, 6	1, 3, 7, 9	1, 4	1, 4, 6, 7	1, 4, 6, 9	1, 6, 7, 9	1, 3, 4, 7	1, 3, 4, 9		1, 3, 6, 7	3, 4, 6	3, 4, 7, 9	3, 4, 6, 7
K	1, 3, 5	1, 3, 6, 8	1, 3, 7, 8	1, 5, 8	1, 6, 7	1, 6, 8	1, 5, 6, 7	1, 3, 5, 7	1, 3, 5, 8	1, 3, 6, 7		3, 5, 6	3, 5, 7	3, 6, 7, 8
L	2, 3, 5, 10	2, 3, 6, 10	2, 3	2, 4, 5, 10	2, 4, 6, 10	2, 4, 6	2, 5, 6	3, 4, 5, 10	3, 4, 5	3, 4, 6	3, 5, 6		2, 3, 4, 5	2, 3, 4, 6
M	2, 3, 5, 9	2, 3	2, 3, 7, 9	2, 4, 5	2, 4, 7	2, 4, 9	2, 5, 7, 9	3, 4, 5, 7	3, 4, 5, 9	3, 4, 7, 9	3, 5, 7	2, 3, 4, 5		2, 3, 4, 7
N	2, 3	2, 3, 6, 8	2, 3, 7, 8	2, 4, 8	2, 4, 6, 7	2, 4, 6, 8	2, 6, 7	3, 4, 7	3, 4, 8	3, 4, 6, 7	3, 6, 7, 8	2, 3, 4, 6	2, 3, 4, 7

On peut aussi remarquer que trois faces partagent un seul nombre. Donc puisque A est compatible avec E, F, J et K, on peut inspecter les triplets suivants pour déterminer les nombres en commun :

A E F : 1 et 2.

A E J : 1.

A E K : 1.

A F J : 1 et 9.

A F K : 1.

A J K : 1 et 3.

On voit tout de suite que le 1 est commun à toutes les faces compatibles. Or 4 faces ne peuvent avoir aucun nombre en commun. La face A ne peut donc pas faire partie du tétraèdre solution. Le même raisonnement nous fait éliminer les faces B et C.

Concernant la face D, les seuls triplets possibles sont : DGN, DKM et DKN. Mais on peut éliminer DKN car K et N ont 4 nombres en commun. Etudions les 2 candidats restants :

D G N : puisque le K n'est pas compatible avec le N, il ne reste que DGNM. Manque de chance N n'est pas compatible avec M.

D K M : idem à cause des incompatibilités entre K/N et M/N.

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