Vincenzo Viviani (1622 - 1703) était un collaborateur de Galilée. On lui doit notemment un étonnant théorème dans un triangle équilatéral.

Si on prend un point quelconque à l'intérieur d'un triangle équilatéral et que l'on mesure les distances qui le séparent de chacun des trois côtés, on obtient la longueur de la hauteur.

Dans le dessin à droite, cela revient à dire que peut importe où on place le point O (à l'intérieur de la surface verte), on aura toujours :
AH = OA' + OB' + OC'

Pour démontrer ce théorème, nous allons d'abord nous intéresser aux propriétés des triangles équilatéraux.

Leur définition nous dit que ce sont des triangles dont les trois côtés ont même longueur. Ils possèdent donc trois axes de symétrie. Dans le dessin ci-dessus, on peut voir que [AH] est un tel axe car si on plie le triangle sur ce trait, les points B et C vont se superposer puisque H est le milieu de [BC] et que [AB] et [AC] ont même longeur.

Puisque les triangles AHB et AHC se superposent, leurs angles sont identiques. Et comme B, H et C sont alignés, on en déduit que l'angle BHC est de 180°. Et sachant que cet angle est aussi la somme des angles AHB et AHC qui sont égaux, on a démontré que [AH] est perpendiculaire à [BC] donc [AH] est une hauteur du triangle.

De tout ceci on tire la propriété très intéressante suivante :
dans le triangle AHC, rectangle en H, la longueur de [AC] est double de celle de [HC].

Plaçons trois nouveaux points.

Le triangle AC'E est semblable au triangle AHB car il a deux angles en commun : l'angle droit et celui issu de A. Donc, d'après ce qu'on a démontré plus haut, on a : AE = 2xC'E.
On montre de la même façon que AE = 2xEF et donc que AE = C'E + EF.

Je laisse au lecteur le soin de détailler la suite, mais on voit que les triangles EIO et EJO sont aussi semblables à AHB et donc OE = EI + EJ. Il reste à remarquer que IOA'H et JFB'O sont des rectangles et on peut conclure comme ceci :

OA' + OC' + OB' = IH + OE + EC' + JF
                = IH + IE + JE + EC' + JF
                = HE + EC' + EF
                = HE + EA
                = AH