Rechercher la valeur des faces

Voici une autre façon d'attaquer le problème. Tentons de trouver quelle somme commune peuvent bien avoir les faces du tétraèdre magique (s'il existe). On appelera cette somme la valeur des faces.

Chaque face a, comme valeur, la somme de 6 nombre distincts compris entre 1 et 10 inclus. La plus petite somme possible est donc 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 6*(6+1)/2 = 21. Mais on voit tout de suite que seule une face du tétraèdre pourrait avoir cette valeur, et il nous en faut 4 pour répondre au problème. Donc la valeur recherchée est strictement supérieure à 21.

Quelles sont les possibilités pour avoir une valeur de 22 ? En tâtonnant un peu, on trouve que la seule possibilité est : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 7 = 22.

Ce n'est toujours pas suffisant alors on teste 23 :

Passons maintenant à 24 :

Avant de passer à 25, il faut préciser l'algorithme qui permet de trouver toutes les configurations de 6 nombres qui donnent une somme n. On commence par écrire les 5 premiers nombres et on calcule le sixième pour que la somme donne n. Ainsi, on aura :

Cette solution est correcte si le dernier nombre vaut au moins 6 et au plus 10. Si c'est le cas, on garde cette configuration.

On cherche alors la solution potentielle suivante. En partant de la droite et en commançant par le cinquième, on cherche le premier nombre inférieur à son suivant moins 1. Si on n'en trouve aucun, cela signifie que la recherche est terminée. Sinon, on lui ajoute 1 et on rajoute un au suivant en cascade jusqu'au cinquième.

Prenon un exemple pour éclaircir ce propos :

+ 4 + 5 + 6 + 9 + 10 = 36
Le premier nombre (en partant de la droite) qui est inférieur à son suivant moins 1 est le quatrième et il vaut 6. On va donc l'augmenter de 1 :

+ 4 + 5 + 7 + 9 + 10 = 37
Puis on réalise la cascade vers la droite et on ajuste la valeur du dernier :

+ 4 + 5 + 7 + 8 + 10 = 36
C'est une solution convenable, alors on continue.